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Eine Ausarbeitung zur Lehramtsprüfung
in Mathematik von Ingrid Huber im Juni 1998
Das
Grundwissen über Pyramiden
Ein Körper, der von einem beliebigen
n-Eck und von n Dreiecken, die in einem Punkt zusammenstoßen, begrenzt
wird, heißt Pyramide.
Das n-Eck, bzw. Vieleck, wird als die Grundfläche der Pyramide bezeichnet, die Dreiecke heißen Seitenflächen.
Die Kanten, die die Seitenflächen
miteinander bilden, werden Seitenkanten genannt, die Seiten des
Vielecks heißen Grundkanten.
Der Punkt, in dem die Seitenkanten zusammenstoßen,
heißt Spitze der Pyramide.
Der Abstand der Spitze zur Grundfläche
(Normalabstand) ist die Höhe der Pyramide, die Seitenhöhe ist die Höhe eines Seitenflächendreiecks.
Die Seitenflächen bilden die Mantelfläche der Pyramide.
Pyramiden unterscheidet man einerseits
nach der Art der Grundfläche, andererseits nach der Lage der Spitze
zum Basismittelpunkt:
| regelmäßig |
die Grundfläche ist ein regelmäßiges Vieleck. |
| unregelmäßig |
die Grundfläche ist ein unregelmäßiges Vieleck. |
| gerade |
der Fußpunkt der Körperhöhe ist gleichzeitig der Basismittelpunkt. Diese Verbindungsgerade ist dann die Achse der Pyramide und auch die Höhe. Alle Seitenflächen bestehen aus gleichschenkeligen Dreiecken. |
| schief |
die Spitze steht nicht normal auf den Basismittelpunkt. |
Nach der Seitenzahl n der Grundfläche spricht man auch von n-seitigen Pyramiden.
Beispiele:
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unregelmäßig, gerade |
regelmäßig, schief |
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Besondere Pyramiden
| Gerade quadratische Pyramide: |
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Tetraeder: (regelmäßiger Vierflächner)
* eine regelmäßige dreiseitige Pyramide
* alle Kanten sind gleich lang |
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Oktaeder: (regelmäßiger Achtflächner)
* eine quadratische Doppelpyramide
* alle Kanten sind gleich lang |
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Berechnungen an der Pyramide
Mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes ist es nicht schwierig fehlende Längen einer Pyramide zu berechnen:
1. Beispiel:
h = Körperhöhe
ha = Höhe des Seitenflächendreiecks
2. Beispiel:
s = Seitenkante
Volumen und Oberflächeninhalt der Pyramide
Volumen :
Den Beweis für diese Volumsformel kann man mit einem „Schüttmodell“ bringen:
Für diesen Versuch braucht man einen pyramidenförmigen Hohlkörper und einen prismenförmigen Hohlkörper, die dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe haben. Man füllt den pyramidenförmigen Hohlkörper mit Sand oder Wasser und schüttet den Inhalt in den prismenförmigen Hohlkörper.
Man stellt fest: Das Volumen der Pyramide beträgt genau ein Drittel des Volumens des Prismas, das dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe hat.
Oberflächeninhalt: O = G + M
O = Flächeninhalt des n-Ecks + n Dreiecksflächeninhalte
Beispiel: Regelmäßige dreiseitige Pyramide
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